Informations pratiques
Les documents relatifs au cours sont disponibles plus bas (voir section Programme).
0. Examen : Jeudi 24 février 14h-17h, salle 15-25-101. Sujet de l’examen. Proposition de solution. Notes finales.
1. Horaires : Jeudi / Thursday 16h-18h, Jussieu, salle 15-25-101,
Vendredi / Friday 8h30-10h30, Jussieu, salle 15-16-101 en janvier et 15-25-502 en février,
Vendredi / Friday 10h45-12h45, Jussieu, salle 15-16-101 en janvier et 15-25-502 en février.
2. Descriptif du cours : Les opérateurs différentiels sur les variétés jouent un rôle central dans de nombreuses branches des mathématiques : en géométrie, en dynamique, dans l’étude des équations aux dérivées partielles … Le but de ce cours est de présenter les outils élémentaires de l’analyse microlocale sur les variétés fermées (c’est-à-dire compactes et sans bord), qui permet, entre autres, de décrire les propriétés des opérateurs différentiels et de l’algèbre naturelle qui les contient, à savoir les opérateurs pseudodifférentiels.
Après avoir présenté (ou rappelé) quelques résultats sur les distributions et leurs singularités microlocales, on étudiera le calcul pseudodifférentiel à proprement parler, et ses propriétés élémentaires. On insistera notamment sur l’étude des opérateurs dit elliptiques tels que le laplacien ou le laplacien de Hodge, et sur leur description spectrale. Enfin, nous donnerons deux applications de cette théorie en cohomologie de De Rham : le théorème de Hodge et le théorème de Lefschetz.
Perspectives : Ce cours peut être un tremplin vers les thèmes suivants : théorème de l’indice de Atiyah-Singer, analyse microlocale et semi-classique (e.g. : théorie de la diffusion — scattering en anglais —, ergodicité quantique, …), dynamique uniformément hyperbolique et résonances de Pollicott-Ruelle, géométrie complexe et kählerienne.
3. Contenu du cours :
- Théorie des distributions : définition, singularités et front d’onde, opérations classiques sur les distributions.
- Analyse microlocale : opérateurs différentiels et pseudodifférentiels, phase stationnaire, opérateurs elliptiques et théorie de Fredholm, estimées elliptiques, propagation des singularités (*).
- Théorie spectrale : propriétés spectrales des opérateurs elliptiques, loi de Weyl (*).
- Applications en cohomologie de De Rham : théorème de Hodge, formule de Lefschetz.
(*) Si le temps le permet.
4. Bibliographie :
- Alan Grijis, Johannes Sjöstrand. Microlocal Analysis for Differential Operators.
- Lars Hormander. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I and III.
- Mikhail Shubin. Pseudodifferential Operators and Spectral Theory.
- Michael E. Taylor. Partial Differential Equations II.
Programme
Notes de cours : disponibles ici (13/02/22).
Feuilles de TD : Feuille 1, Feuille 2.
Devoir maison à rendre en 5ème semaine / Homework to hand in on the 5th week : Trace bémol des difféomorphismes à points fixes non dégénérés. Solution à l’exercice 2 par Jiasheng Lin : correction.
- Semaine 1 : Introduction, front d’onde des distributions (Introduction, Appendice, et Chapitre 1, Section 1.1), Correction du TD 1. (Exercices traités sur la Feuille 1 : 3, 4 et 9).
- Semaine 2 : Intégrales oscillantes (Chapitre 1, Section 1.2), Traité en exercice en TD : le tiré en arrière des distributions, voir section 1.2.5.1 du poly.
- Semaine 3 : Lemme de la phase stationnaire (Chapitre 1, Sections 1.3 et 1.4), Correction TD 3 et preuve du lemme de Morse. (Exercices traités sur la Feuille 1 : 20 et 21)
- Semaine 4 : Calcul pseudodifférentiel (Chapitre 2, Section 2.1), Correction du TD 4. (Exercices traités sur la Feuille 2 : 1, 3 et 4).
- Semaine 5 : Ellipticité, continuité L^2 et opérateurs Fredholm (Chapitre 2, Sections 2.2 et 2.3), Correction du TD 5. (Exercices traités sur la Feuille 2 : 6).
- Semaine 6 : Opérateurs elliptiques sur les variétés fermées, complexes elliptiques, théorème de Hodge (Chapitre 3, Sections 3.1, 3.2 et 3.3), Correction du TD 6. (Exercices traités sur la Feuille 2 : 8 et 9).
Enseignements antérieurs à 2020 :
Enseignements 2018/2019 :
- Licence 2 MP Orsay (Maths201 — Analyse, convergence, algèbre I) :
- Synopsis du cours
- Feuille 1 : Suites, bornes sup et inf. Correction exercice 7.
- Feuille 2 : Séries numériques. Correction exercice 7.
- Feuille 3 : Intégration.
- Feuille 4 : Suites de fonctions.
- Feuille 5 : Rappels d’algèbre linéaire.
- Feuille 6 : Déterminants.
- Feuille 7 : Réduction.
- Feuille 8 : Séries de fonctions.
- Feuille 9 : Séries entières.
- Feuille 10 : Décomposition de Jordan.
- Contrôle de connaissances n°1 : séries, suites de fonctions, intégrales convergentes. Correction.
- Partiel : séries, suites de fonctions, intégrales convergentes, réduction des endomorphismes. Correction.
- Polytech Paris-Sud (pré-rentrée) :
- Synopsis du cours
- TD n°1-2-3-4 : Méthode du pivot de Gauss, résolution de systèmes, diagonalisation (cours disponible ici)
- TD n°5-6-7-8: Séries numériques
Enseignements 2017/2018 :
- Polytech Paris-Sud (pré-rentrée) :
- Synopsis du cours
- TD n°1-2-3-4 : Méthode du pivot de Gauss, résolution de systèmes, diagonalisation (cours disponible ici)
- TD n°5-6-7-8: Séries numériques
- Licence 1 MPI Orsay (Maths101 — Calculus) :
- Le poly de cours
- Le poly d’exercices : correction manuscrite des exercices 22 et 24, 25 et 34, 27, 60.
- Test n°1 (à préparer pour la semaine du 02/10), et sa correction.
- DM n°1 (à rendre la semaine du 16/10) et sa correction.
- Test n°2 (semaine du 23/10) et sa correction.
- DM n°2 (semaine du 06/11) et sa correction.
- Test n°3 (semaine du 13/11) et sa correction.
- DM n°3 (semaine du 04/12) et sa correction.
- Test n°4 (semaine du 04/12) et sa correction.
- Examen final le mardi 19 décembre.
Classes préparatoires : quelques feuilles d’exercices corrigés pour classes de MP que j’ai rédigées, selon divers aspects du programme. Je mets tout de même un lien vers l’essentiel MPDDL, la bible des exercices de taupe :
- Séries numériques : séries de Bertrand, transformée d’Abel, … séries I, séries II,
- Réduction des endomorphismes : réduction I, sujet Centrale 2013 – Maths II et correction (de la première partie),
- Espaces vectoriels normés : ev_normes I,
- Topologie : topologie I,
- Espaces préhilbertiens réels : espaces préhilbertiens I (sujet), espaces préhilbertiens I (correction), espaces préhilbertiens II, espaces préhilbertiens III,
- Fonctions de la variable réelle : fonctions de la variable réelle (sujet), fonctions de la variable réelle (correction), fonctions de la variable réelle (correction II), une note de Laura Gay sur la valeur principale de 1/x pour compléter : VP(1x)),
- Suites et séries de fonctions : suites et séries de fonctions (sujet), suites et séries de fonctions (correction I), suites et séries de fonctions (correction II), sujet X 98 – Maths I et correction (uniquement de la première partie), sujet Mines 2016 – Maths II et correction (idem, uniquement de la première partie),
- Probabilités : probabilités I (sujet), probabilités I (correction), sujet Mines 2016 PC – Maths I et correction (dernière partie)