Enseignements 2022/2023

Dynamique et géométrie en courbure négative : progrès récents et perspectives (Cours Peccot)

Informations pratiques

Le cours Peccot aura lieu au Collège de France du 8 au 29 mars 2023, le mercredi de 10h à 12h.

1. Descriptif du cours : Une question célèbre de géométrie spectrale, souvent résumée par la formule « Peut-on entendre la forme d’un tambour ? » (Kac, 1966), consiste à déterminer une variété riemannienne à partir de la donnée du spectre de l’opérateur de Laplace. Il est connu depuis les travaux de Vignéras en 1980 qu’il existe des paires de surfaces hyperboliques isospectrales qui ne sont pas isométriques. Même parmi les espaces à courbure négative, le spectre du laplacien n’est donc pas un invariant assez fort pour contraindre la géométrie.

En 1985, Burns et Katok ont donc suggéré qu’un invariant plus fin, appelé spectre marqué des longueurs, à savoir, la donnée des longueurs des géodésiques périodiques marquées par l’homotopie de la variété, devait déterminer la métrique en courbure négative. Ce problème, résolu pour les surfaces indépendamment par Otal et Croke en 1990, est toujours ouvert en dimension plus grande. Le but de ce cours est de démontrer une version locale de la conjecture de Burns-Katok en toute dimension : deux métriques suffisamment proches ayant même spectre marqué des longueurs sont isométriques (Guillarmou-L. ’18).

L’un des outils majeurs pour démontrer ce théorème est l’analyse microlocale. On insistera notamment sur la description spectrale du flot géodésique via la théorie des résonances de Pollicott-Ruelle qui permet de décrire le comportement statistique (i.e. en temps long) de la dynamique géodésique, et l’on expliquera comment cette théorie s’applique au problème de rigidité du spectre marqué des longueurs.

Si le temps le permet, on expliquera également comment certaines de ces idées, couplées à la théorie des représentations, permettent de démontrer l’ergodicité du flot des repères sous des hypothèses de pincement sur la courbure (Cekić-L.-Moroianu-Semmelmann ’21).

2. Contenu du cours :

  • Géométrie riemannienne en courbure négative.
  • Dynamique du flot géodésique, flot des repères.
  • Algèbre tensorielle. Identité de Pestov.
  • Théorie des résonances de Pollicott-Ruelle (pour les flots hyperboliques), analyse microlocale.
  • Spectre marqué des longueurs.
  • Ergodicité du flot géodésique et du flot des repères.

3. Bibliographie :

Analyse géométrique sur les variétés

Informations pratiques

Le cours fait partie du M2 de Mathématiques fondamentales de Sorbonne Université et aura lieu en janvier-février 2023 sur le campus de Jussieu.

The course might be taught in English (according to the audience).

1. Descriptif du cours : Les opérateurs différentiels sur les variétés jouent un rôle central dans de nombreuses branches des mathématiques : en géométrie, en dynamique, dans l’étude des équations aux dérivées partielles … Le but de ce cours est de présenter les outils élémentaires de l’analyse microlocale sur les variétés fermées (c’est-à-dire compactes et sans bord), qui permet, entre autres, de décrire les propriétés des opérateurs différentiels et de l’algèbre naturelle qui les contient, à savoir les opérateurs pseudodifférentiels.

Après avoir présenté (ou rappelé) quelques résultats sur les distributions et leurs singularités microlocales, on étudiera le calcul pseudodifférentiel à proprement parler, et ses propriétés élémentaires. On insistera notamment sur l’étude des opérateurs dit elliptiques tels que le laplacien ou le laplacien de Hodge, et sur leur description spectrale. Enfin, nous donnerons une application de cette théorie en cohomologie de De Rham (ou de Dolbeault) : le théorème de Hodge.

Perspectives : Ce cours peut être un tremplin vers les thèmes suivants : théorème de l’indice de Atiyah-Singer, analyse microlocale et semi-classique (e.g. : théorie de la diffusion — scattering en anglais —, ergodicité quantique, …), dynamique uniformément hyperbolique et résonances de Pollicott-Ruelle, géométrie complexe et kählerienne.

2. Contenu du cours :

  • Théorie des distributions : définition, singularités et front d’onde, opérations classiques sur les distributions.
  • Analyse microlocale : opérateurs différentiels et pseudodifférentiels, phase stationnaire, opérateurs elliptiques et théorie de Fredholm, estimées elliptiques, propagation des singularités (*).
  • Théorie spectrale : propriétés spectrales des opérateurs elliptiques, loi de Weyl (*).
  • Applications en cohomologie de De Rham : théorème de Hodge.

(*) Si le temps le permet.

3. Bibliographie : Le cours sera basé sur mes notes de cours, disponibles [ici]. ! I am still updating the lecture notes from time to time, so make sure you have the latest version. If you spot any typo, please let me know !

  • Alan Grijis, Johannes Sjöstrand. Microlocal Analysis for Differential Operators.
  • Lars Hormander. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I and III.
  • Mikhail Shubin. Pseudodifferential Operators and Spectral Theory.
  • Michael E. Taylor. Partial Differential Equations II.

4. Programme :

Semaine 1 : Intégrales oscillantes, théorème du noyau de Schwartz, phase stationnaire (Chapitre 1 du poly).

Semaine 2 : TD : exercices 14, 22, 23, 21 et 19 de la feuille 1. Cours : front d’onde, front d’onde des intégrales oscillantes (Chapitre 2, section 1), multiplication des distributions (Chapitre 2, section 2.2.1).

Semaine 3 : TD : exercices 7, 3, 4 et 18 de la feuille 1. Cours : Théorème d’extension (Chapitre 2, section 2), application aux opérations sur les distributions (sections 2.2.3.1, 2.2.3.2) et premières propriétés des opérateurs pseudodifférentiels (section 2.3).

Semaine 4 : TD : exercices 1, 3, 4 et 5 de la feuille 1. Cours : Calcul pseudodifferentiel dans \R^n, opérateurs pseudodifférentiels sur les variétés, ellipticité.

Semaine 5 : (Pas de TD, le cours du 06/02/23 est déplacé). Cours : Construction de paramétrices pour les opérateur elliptiques, continuité L^2 des opérateurs, opérateurs de Fredholm.

Semaine 6 : TD 1 (lundi) : exercice 11. TD 2 (jeudi) : exercice 15 et 16. Espaces de Sobolev, propriétés Fredholm des opérateurs elliptiques, complexes elliptiques et théorème de Hodge.

Devoir maison : [DM]. ! There was a typo in the first version: in question 2a), the norm (M) was incorrect. It is now fixed in the new version (13/01/23) !

Feuilles de TD : [Feuille 1], [Feuille 2].

Annales : [Devoir maison 2022], [Examen 2022].