Enseignements

Analyse géométrique sur les variétés (2022/2023)

Analyse géométrique sur les variétés / Geometric analysis on manifolds (M2 Mathématiques fondamentales, Jussieu)

Informations pratiques

1. Descriptif du cours : Les opérateurs différentiels sur les variétés jouent un rôle central dans de nombreuses branches des mathématiques : en géométrie, en dynamique, dans l’étude des équations aux dérivées partielles … Le but de ce cours est de présenter les outils élémentaires de l’analyse microlocale sur les variétés fermées (c’est-à-dire compactes et sans bord), qui permet, entre autres, de décrire les propriétés des opérateurs différentiels et de l’algèbre naturelle qui les contient, à savoir les opérateurs pseudodifférentiels.

Après avoir présenté (ou rappelé) quelques résultats sur les distributions et leurs singularités microlocales, on étudiera le calcul pseudodifférentiel à proprement parler, et ses propriétés élémentaires. On insistera notamment sur l’étude des opérateurs dit elliptiques tels que le laplacien ou le laplacien de Hodge, et sur leur description spectrale. Enfin, nous donnerons deux applications de cette théorie en cohomologie de De Rham : le théorème de Hodge et le théorème de Lefschetz.

Perspectives : Ce cours peut être un tremplin vers les thèmes suivants : théorème de l’indice de Atiyah-Singer, analyse microlocale et semi-classique (e.g. : théorie de la diffusion — scattering en anglais —, ergodicité quantique, …), dynamique uniformément hyperbolique et résonances de Pollicott-Ruelle, géométrie complexe et kählerienne.

2. Contenu du cours :

  • Théorie des distributions : définition, singularités et front d’onde, opérations classiques sur les distributions.
  • Analyse microlocale : opérateurs différentiels et pseudodifférentiels, phase stationnaire, opérateurs elliptiques et théorie de Fredholm, estimées elliptiques, propagation des singularités (*).
  • Théorie spectrale : propriétés spectrales des opérateurs elliptiques, loi de Weyl (*).
  • Applications en cohomologie de De Rham : théorème de Hodge, formule de Lefschetz.

(*) Si le temps le permet.

3. Bibliographie :

  • Alan Grijis, Johannes Sjöstrand. Microlocal Analysis for Differential Operators.
  • Lars Hormander. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I and III.
  • Mikhail Shubin. Pseudodifferential Operators and Spectral Theory.
  • Michael E. Taylor. Partial Differential Equations II.

4. Programme : Les notes de cours sont disponibles [ici]. Feuilles de TD : [Feuille 1], [Feuille 2]. [Devoir maison 2022]. [Examen 2022].

  • Semaine 1 : Introduction, front d’onde des distributions (Introduction, Appendice, et Chapitre 1, Section 1.1), Correction du TD 1. (Exercices traités sur la Feuille 1 : 3, 4 et 9).
  • Semaine 2 : Intégrales oscillantes (Chapitre 1, Section 1.2), Traité en exercice en TD : le tiré en arrière des distributions, voir section 1.2.5.1 du poly.
  • Semaine 3 : Lemme de la phase stationnaire (Chapitre 1, Sections 1.3 et 1.4), Correction TD 3 et preuve du lemme de Morse. (Exercices traités sur la Feuille 1 : 20 et 21)
  • Semaine 4 : Calcul pseudodifférentiel (Chapitre 2, Section 2.1), Correction du TD 4. (Exercices traités sur la Feuille 2 : 1, 3 et 4).
  • Semaine 5 : Ellipticité, continuité L^2 et opérateurs Fredholm (Chapitre 2, Sections 2.2 et 2.3), Correction du TD 5. (Exercices traités sur la Feuille 2 : 6).
  • Semaine 6 : Opérateurs elliptiques sur les variétés fermées, complexes elliptiques, théorème de Hodge (Chapitre 3, Sections 3.1, 3.2 et 3.3), Correction du TD 6. (Exercices traités sur la Feuille 2 : 8 et 9).

Enseignements antérieurs à 2020 :

Enseignements 2018/2019 :

Enseignements 2017/2018 :

Classes préparatoires : quelques feuilles d’exercices corrigés pour classes de MP que j’ai rédigées, selon divers aspects du programme. Je mets tout de même un lien vers l’essentiel MPDDL, la bible des exercices de taupe :