Enseignements 2021/2022 :

Analyse géométrique sur les variétés / Geometric analysis on manifolds (M2 Mathématiques fondamentales, Jussieu)

Informations pratiques

Les documents relatifs au cours sont disponibles plus bas (voir section Programme).

1. Horaires : Jeudi / Thursday 16h-18h, Jussieu, salle 15-25-101,
Vendredi / Friday 8h30-10h30, Jussieu, salle 15-16-101 en janvier et 15-25-502 en février,
Vendredi / Friday 10h45-12h45, Jussieu, salle 15-16-101 en janvier et 15-25-502 en février.

2. Descriptif du cours : Les opérateurs différentiels sur les variétés jouent un rôle central dans de nombreuses branches des mathématiques : en géométrie, en dynamique, dans l’étude des équations aux dérivées partielles … Le but de ce cours est de présenter les outils élémentaires de l’analyse microlocale sur les variétés fermées (c’est-à-dire compactes et sans bord), qui permet, entre autres, de décrire les propriétés des opérateurs différentiels et de l’algèbre naturelle qui les contient, à savoir les opérateurs pseudodifférentiels.

Après avoir présenté (ou rappelé) quelques résultats sur les distributions et leurs singularités microlocales, on étudiera le calcul pseudodifférentiel à proprement parler, et ses propriétés élémentaires. On insistera notamment sur l’étude des opérateurs dit elliptiques tels que le laplacien ou le laplacien de Hodge, et sur leur description spectrale. Enfin, nous donnerons deux applications de cette théorie en cohomologie de De Rham : le théorème de Hodge et le théorème de Lefschetz.

Perspectives : Ce cours peut être un tremplin vers les thèmes suivants : théorème de l’indice de Atiyah-Singer, analyse microlocale et semi-classique (e.g. : théorie de la diffusion — scattering en anglais —, ergodicité quantique, …), dynamique uniformément hyperbolique et résonances de Pollicott-Ruelle, géométrie complexe et kählerienne.

3. Contenu du cours :

  • Théorie des distributions : définition, singularités et front d’onde, opérations classiques sur les distributions.
  • Analyse microlocale : opérateurs différentiels et pseudodifférentiels, phase stationnaire, opérateurs elliptiques et théorie de Fredholm, estimées elliptiques, propagation des singularités (*).
  • Théorie spectrale : propriétés spectrales des opérateurs elliptiques, loi de Weyl (*).
  • Applications en cohomologie de De Rham : théorème de Hodge, théorème de Lefschetz.

(*) Si le temps le permet.

4. Bibliographie :

  • Alan Grijis, Johannes Sjöstrand. Microlocal Analysis for Differential Operators.
  • Lars Hormander. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I and III.
  • Mikhail Shubin. Pseudodifferential Operators and Spectral Theory.
  • Michael E. Taylor. Partial Differential Equations II.

Programme

Notes de cours : disponibles ici (15/01/22).

Devoir maison à rendre en 5ème semaine / Homework to hand in on the 5th week : Trace bémol des difféomorphismes à points fixes non dégénérés.

  • Semaine 1 : Introduction, front d’onde des distributions (Introduction, Appendice, et Chapitre 1, Section 1.1), Feuille d’exercice, Correction du TD 1. (Exercices traités : 3, 4 et 9).
  • Semaine 2 : Intégrales oscillantes (Chapitre 1, Section 1.2), Traité en exercice en TD : le tiré en arrière des distributions, voir section 1.2.5.1 du poly.
  • Semaine 3 : Lemme de la phase stationnaire (Chapitre 1, Sections 1.3 et 1.4),
  • Semaine 4 : Opérateurs pseudodifférentiels, ellipticité et continuité (Chapitre 2, Sections 2.1 et 2.2),
  • Semaine 5 : Opérateurs de Fredholm, espaces de Sobolev (Chapitre 2, Sections 2.4 et 2.5),
  • Semaine 6 : Opérateurs elliptiques sur les variétés fermées, complexes elliptiques, théorèmes de Hodge et de Lefschetz (Chapitre 3, Sections 3.1, 3.2 et 3.3).

Enseignements antérieurs à 2020 :

Enseignements 2018/2019 :

Enseignements 2017/2018 :

Classes préparatoires : quelques feuilles d’exercices corrigés pour classes de MP que j’ai rédigées, selon divers aspects du programme. Je mets tout de même un lien vers l’essentiel MPDDL, la bible des exercices de taupe :