Enseignements 2021/2022 :

Analyse géométrique sur les variétés (M2 Mathématiques fondamentales, Jussieu)

Notes de cours : Disponibles ici en version très préliminaire. Le fichier contient encore beaucoup de coquilles que je n’ai pas eu le temps de corriger mais il donne une première idée du contenu du cours.

Descriptif du cours : Les opérateurs différentiels sur les variétés jouent un rôle central dans de nombreuses branches des mathématiques : en géométrie, en dynamique, dans l’étude des équations aux dérivées partielles … Le but de ce cours est de présenter les outils élémentaires de l’analyse microlocale sur les variétés fermées (c’est-à-dire compactes et sans bord), qui permet, entre autres, de décrire les propriétés des opérateurs différentiels et de l’algèbre naturelle qui les contient, à savoir les opérateurs pseudodifférentiels.

Après avoir présenté (ou rappelé) quelques résultats sur les distributions et leurs singularités microlocales, on étudiera le calcul pseudodifférentiel à proprement parler, et ses propriétés élémentaires. On insistera notamment sur l’étude des opérateurs dit elliptiques tels que le laplacien ou le laplacien de Hodge, et sur leur description spectrale. Enfin, nous donnerons deux applications de cette théorie en cohomologie de De Rham : le théorème de Hodge et le théorème de Lefschetz.

Perspectives : Ce cours peut être un tremplin vers les thèmes suivants : théorème de l’indice de Atiyah-Singer, analyse microlocale et semi-classique (e.g. : théorie de la diffusion — scattering en anglais —, ergodicité quantique, …), dynamique uniformément hyperbolique et résonances de Pollicott-Ruelle, géométrie complexe et kählerienne.

Contenu du cours :

  • Théorie des distributions : définition, singularités et front d’onde, opérations classiques sur les distributions.
  • Analyse microlocale : opérateurs différentiels et pseudodifférentiels, phase stationnaire, opérateurs elliptiques et théorie de Fredholm, estimées elliptiques, propagation des singularités (*).
  • Théorie spectrale : propriétés spectrales des opérateurs elliptiques, loi de Weyl (*).
  • Applications en cohomologie de De Rham : théorème de Hodge, théorème de Lefschetz.

(*) Si le temps le permet.

Bibliographie :

  • Alan Grijis, Johannes Sjöstrand. Microlocal Analysis for Differential Operators.
  • Lars Hormander. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I and III.
  • Mikhail Shubin. Pseudodifferential Operators and Spectral Theory.
  • Michael E. Taylor. Partial Differential Equations II.

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Classes préparatoires : quelques feuilles d’exercices corrigés pour classes de MP que j’ai rédigées, selon divers aspects du programme. Je mets tout de même un lien vers l’essentiel MPDDL, la bible des exercices de taupe :