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Problèmes inverses

Je suis actuellement en première année de thèse sous la direction de Colin Guillarmou.

Je travaille sur des problèmes inverses en géométrie riemannienne : plus précisément, j’étudie la s-injectivité de la transformée en rayons X sous diverses hypothèses (courbure négative, trapping hyperbolique, etc.) et essaie de relier cela à des propriétés de rigidité du bord. Mon travail se base sur de récents outils développés en analyse microlocale (par Dyatlov-Guillarmou, Dyatlov-Zworski, Faure-Sjöstrand, …), qui permettent une étude fine des flots hyperboliques. Un poster qui explique une partie de mes travaux.

  • The marked length spectrum of Anosov manifolds, avec Colin Guillarmou, soumis. Burns et Katok ont conjecturé en 1985 que le spectre marqué des longueurs (la suite des longueurs des géodésiques fermées, repérées par l’homotopie) d’une variété fermée à courbure négative devait déterminer la métrique (au sens où deux telles métriques avec même spectre marqué devraient être isométriques). Croke et Otal ont démontré la conjecture indépendamment en 1990 en dimension 2 mais la question est depuis restée ouverte en dimension supérieure. Nous démontrons une version locale non-linéaire de la conjecture de Burns-Katok, qui s’étend aux surfaces dont le flot géodésique est Anosov, ainsi qu’aux variétés Anosov à courbure non-positive.
    • Slides d’un exposé donné à la conférence « Inverse problems, PDE and geometry », Jyväskylä (Finlande).

  • Local marked boundary rigidity under hyperbolic trapping assumptions, soumis. La distance marquée au bord sur une variété à bord est l’application qui associe à deux points du bord ainsi qu’une classe d’homotopie entre ces deux points, leur distance calculée dans cette classe. Nous montrons que pour une variété (M,g) à bord strictement convexe avec ensemble capté hyperbolique, sous l’hypothèse que la transformée en rayons X sur les 2-tenseurs symétriques est s-injective, la distance marquée au bord détermine localement la métrique, au sens suivant : si g’ est une autre métrique au voisinage de g qui a la même distance marquée au bord que g, alors il existe une isométrie i : M -> M qui fixe le bord, telle que i^*(g)=g’.

  • Boundary rigidity of negatively-curved asymptotically hyperbolic surfaces, soumis. Pour une variété asymptotiquement hyperbolique, il est possible de définir une distance entre deux points du bord à l’infini à l’aide d’une longueur renormalisée. Nous montrons que pour deux surfaces asymptotiquement hyperbolique de courbure négative (M,g) et (M,g’) , la longueur renormalisée marquée détermine la métrique au sens suivant : il existe une isométrie i sur le compactifié de M qui fixe le bord à l’infini telle que i^*(g)=g’.

  • On the s-injectivity of the X-ray transform for manifolds with hyperbolic trapped set, soumis. Cet article s’intéresse à la transformée en rayons X (ab. TRX) sur les variétés lisses compactes à bord convexe, sans points conjugués et avec ensemble capté hyperbolique. Un prototype de ces variétés est donné par des surfaces à bord convexe et à courbure strictement négative. Nous montrons un principe d’équivalence entre la s-injectivité de la TRX et la surjectivité d’un certain opérateur sur les tenseurs solénoidaux. Puis nous en déduisons la s-injectivité de la TRX sur les tenseurs de tous ordres dans le cas de telles surfaces.

Systèmes dynamiques

  • On the genericity of the shadowing property for conservative homeomorphisms, avec Pierre-Antoine Guihéneuf, publié dans Proceedings of the AMS 146 (2018), n°10, 4225—4237. Dans cet article, nous montrons que la propriété dite de pistage est générique (vérifiée pour « presque tous ») parmi les homémorphismes conservatifs (préservant une certaine mesure) d’une variété compacte. La propriété de pistage est vérifiée lorsque tout pseudo-orbite d’un homéomorphisme (i.e. une orbite dont les itérés ne sont pas exacts mais peuvent présenter une erreur d’approximation) est tracée par une orbite exacte du même homéomorphisme.